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<title>Bahnelement</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Bahnelement</span></h1>
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<p>Als <b>Bahnelemente</b> werden die Parameter bezeichnet, die die Bahn und die Bewegung eines <a href="Astronomisches_Objekt" title="Astronomisches Objekt">astronomischen Objekts</a> beschreiben, das den <a href="Keplersche_Gesetze" title="Keplersche Gesetze">Keplerschen Gesetzen</a> im Schwerefeld eines Himmelskörpers gehorcht (<a href="Zweik%C3%B6rperproblem" title="Zweikörperproblem">Zweikörperproblem</a>).
</p><p>Sind keine <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a> zu berücksichtigen, so genügen zur vollständigen Beschreibung sechs Bahnelemente. Zwei Bahnelemente beschreiben die Gestalt der Bahn, drei Elemente beschreiben die Lage der Bahn im Raum und ein Element ist der <a href="Epoche_(Astronomie)" title="Epoche (Astronomie)">Zeitpunkt</a>, an dem der Himmelskörper einen bestimmten Punkt auf der Bahn passiert. Die häufigste mit Elementen beschriebene Bahn ist die Ellipse.
</p><p><a href="Satellitenbahnelement" title="Satellitenbahnelement">Satellitenbahnelemente</a> enthalten außer den 6 Elementen einer ungestörten Bewegung auf einer <a href="Keplerbahn" title="Keplerbahn">Keplerellipse</a> üblicherweise weitere Parameter, mit denen <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a> berücksichtigt werden.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Die_Bahnelemente_bei_elliptischer_Bahn">Die Bahnelemente bei elliptischer Bahn</h2></div>
<p>Zentralkörperspezifische Angaben sind, wie in der Abbildung oben, in der Reihenfolge Sonne/Erde durch Schrägstrich markiert.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gestaltelemente">Gestaltelemente</h3></div>
<p>Die Beschreibung der Gestalt der <a href="Bahnkurve" class="mw-redirect" title="Bahnkurve">Bahnkurve</a> erfordert zwei Werte, die die Form und die Größe festlegen:
</p>
<ul><li>Die <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Astronomie)" title="Exzentrizität (Astronomie)">numerische Exzentrizität</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle e}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>e</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle e}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b2f00327fa4470da46faf428e4cfaab94d04c37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle e}" loading="lazy"></span>.</li>
<li>Die <a href="Gro%C3%9Fe_Halbachse" class="mw-redirect" title="Große Halbachse">große Halbachse</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7abc4e8a2ef67ff9b7ad050afa4cf286c3ec0cd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle a}" loading="lazy"></span>.</li></ul>
<p>Daraus abgeleitet werden:
</p>
<ul><li>Der <a href="Ellipse#Halbparameter" title="Ellipse">Halbparameter</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle p}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>p</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle p}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21b99f99e3ca9227614414c838c629a136400a3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle p}" loading="lazy"></span>. Mit ihm ergibt sich die <a href="Keplerbahn" title="Keplerbahn">Parameterdarstellung der Keplerbahn</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle r(\varphi )=r(p,e)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>r</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>φ<!-- φ --></mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>r</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>,</mo>
<mi>e</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle r(\varphi )=r(p,e)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8786ed674fb78489b99a1bd6b6fc8140e051ef92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.621ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle r(\varphi )=r(p,e)}" loading="lazy"></span>.</li>
<li>Die <a href="Periapsisdistanz" class="mw-redirect" title="Periapsisdistanz">Periapsisdistanz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle r_{\text{min}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>r</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>min</mtext>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle r_{\text{min}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ca50121f75260e59350f3bbfe775aabbfd5443f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.021ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle r_{\text{min}}}" loading="lazy"></span>: Entfernung des <a href="Hauptscheitel" class="mw-redirect" title="Hauptscheitel">Hauptscheitels</a> zum <a href="Brennpunkt_(Ellipse)" class="mw-redirect" title="Brennpunkt (Ellipse)">Brennpunkt</a>.</li>
<li>Der <a href="Exzentrizit%C3%A4tswinkel" class="mw-redirect" title="Exzentrizitätswinkel">Exzentrizitätswinkel</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \Phi =\arcsin e}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Φ<!-- Φ --></mi>
<mo>=</mo>
<mi>arcsin</mi>
<mo><!-- --></mo>
<mi>e</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \Phi =\arcsin e}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/105795368366ce2d7eabfdfc24d3e6550031d889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.209ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \Phi =\arcsin e}" loading="lazy"></span></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lageelemente">Lageelemente</h3></div>
<p>Die <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Lage</a> im Raum relativ zu einem <a href="Astronomische_Koordinatensysteme" title="Astronomische Koordinatensysteme">Referenzsystem</a> wird durch drei Parameter bestimmt:
</p>
<ul><li>die <a href="Bahnneigung" title="Bahnneigung">Inklination</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle i}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>i</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle i}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b69dce609a74290821dcbd7db868b1af9c061fd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle i}" loading="lazy"></span>: Das ist der Winkel zwischen der <a href="Bahnebene" title="Bahnebene">Bahnebene</a> und der Referenzebene.</li>
<li>den <a href="Argument_des_Knotens" class="mw-redirect" title="Argument des Knotens">Winkel des aufsteigenden Knotens</a> (Länge/Rektaszension des Knotens) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \Omega }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \Omega }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c06d33e8fe0e7b3f200722b09a2402a9e17864dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \Omega }" loading="lazy"></span>: Der in der Referenzebene gemessene Winkel zwischen der Referenzebenen-Bezugsrichtung und dem aufsteigenden <a href="Knoten_(Astronomie)" title="Knoten (Astronomie)">Knoten</a> (an der Schnittlinie Referenzebene-Bahnebene).</li></ul>
<p>Diese beiden Winkel bestimmen die Orientierung der Bahnebene.
</p>
<ul><li>das <a href="Argument_der_Periapsis" title="Argument der Periapsis">Argument der Periapsis</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \omega }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>ω<!-- ω --></mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \omega }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b324620613396ccafac2f2897059218f69d99de7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \omega }" loading="lazy"></span>: Der in der Bahnebene gemessene Winkel zwischen dem aufsteigenden Knoten und der <a href="Apsis_(Astronomie)" title="Apsis (Astronomie)">Periapsis</a> (zentrumsnächster Punkt der Bahn auf der großen Halbachse).</li></ul>
<p>Dieser Winkel bestimmt die Orientierung der Bahn in ihrer Ebene.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitbezug">Zeitbezug</h3></div>
<p>Der Zeitbezug legt den Zeitnullpunkt fest:
</p>
<ul><li><a href="Epoche_(Astronomie)" title="Epoche (Astronomie)">Epoche</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle t}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle t}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8212227d9434ab8b72032e0cdb0c6a1a93479b8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle t}" loading="lazy"></span> (Zeitpunkt) des Periapsisdurchgangs des Körpers.</li></ul>
<p>Abgeleitete Größen
</p>
<ul><li><a href="Mittlere_Bewegung" title="Mittlere Bewegung">Mittlere Bewegung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle n}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle n}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f305e136d6d5ea97d6abc8d333894f20f297ed4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle n}" loading="lazy"></span>: mittlere Winkelgeschwindigkeit der <a href="Mittlere_Anomalie" class="mw-redirect" title="Mittlere Anomalie">mittleren Anomalie</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle M}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>M</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle M}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d46eef9f6b7430e5ebbf2d14ff38f330b304fee1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle M}" loading="lazy"></span></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Umlaufzeit_als_siebentes_Bahnelement">Die Umlaufzeit als siebentes Bahnelement</h3></div>
<p>Streng genommen gehört die Umlaufzeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle P}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mi>P</mi>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle P}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2ca15ed6f7aeb18a38d8be3cf18abcd4b617666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle P}" loading="lazy"></span> als siebentes Bahnelement zu den zur allgemeinen Beschreibung des Zweikörperproblems notwendigen unabhängigen Größen. Sie wird oft nicht angegeben, da sie und die große Halbachse über das Gravitationsgesetz miteinander verknüpft sind, und die Masse des betrachteten Körpers gegenüber der des Zentralkörpers vernachlässigbar ist. Wenn die Masse des kleineren Körpers ebenfalls im Gravitationsgesetz beachtet werden muss, ist sie indirekt das siebente Bahnelement.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Angabe_von_Bahnelementen">Die Angabe von Bahnelementen</h3></div>
<p>Das 6-Tupel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}p,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&t\end{pmatrix}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow>
<mo>(</mo>
<mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
<mtr>
<mtd>
<mi>p</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>e</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>t</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}p,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&t\end{pmatrix}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de679a66242266e843eed9da5480feded8ac073e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.427ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}p,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&t\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span> bezeichnet man als <i>klassische Bahnelemente</i><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.
</p><p>Daneben gibt es auch andere Möglichkeiten, die dem jeweiligen Fall angepasst sind:
</p>
<ul><li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&t\end{pmatrix}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<mo>(</mo>
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<mtd>
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<mo>,</mo>
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<mtd>
<mi>e</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e396e31f3c35b28f954d0e8998a3bb147a6d64c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&t\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span> ist besonders für <a href="Komet" title="Komet">Kometen</a> und die <a href="Planeten" class="mw-redirect" title="Planeten">Planeten</a> des Sonnensystems geeignet.</li>
<li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&M\end{pmatrix}}}">
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<mtd>
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<mo>,</mo>
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<mtd>
<mi>e</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56abb92ef344cbe3a96c87baf40d223c9337188f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.09ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&M\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span> für den <a href="Pluto" title="Pluto">Pluto</a> und die <a href="Kleinplanet" title="Kleinplanet">Kleinplaneten</a>, wie sie der <a href="Astronomical_Almanac" title="Astronomical Almanac">Astronomical Almanac</a> verwendet<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.</li>
<li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\Pi ,&L\end{pmatrix}}}">
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<mo>(</mo>
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<mtd>
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<mo>,</mo>
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<mtd>
<mi>e</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi mathvariant="normal">Π<!-- Π --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>L</mi>
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<mo>)</mo>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\Pi ,&L\end{pmatrix}}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97be540712bd599f587963bbfdd4ef175cf84c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.528ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}a,&e,&i,&\Omega ,&\Pi ,&L\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span> gibt etwa die <a href="Planetentheorie" class="mw-redirect" title="Planetentheorie">Planetentheorie</a> <a href="VSOP_82" class="mw-redirect" title="VSOP 82">VSOP 82</a> auf indirektem Wege.</li>
<li><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}n,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&M\end{pmatrix}}}">
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<mo>,</mo>
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<mtd>
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<mo>,</mo>
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<mtd>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>ω<!-- ω --></mi>
<mo>,</mo>
</mtd>
<mtd>
<mi>M</mi>
</mtd>
</mtr>
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<mo>)</mo>
</mrow>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}n,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&M\end{pmatrix}}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a6f9f28b2337a8f887c95a460796ed74422f514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.255ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}n,&e,&i,&\Omega ,&\omega ,&M\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span> das System des <a href="NASA/NORAD_Two_Line_Elements_Format" class="mw-redirect" title="NASA/NORAD Two Line Elements Format">NASA/NORAD Two Line Elements Format</a> für <a href="Satellit_(Raumfahrt)" title="Satellit (Raumfahrt)">künstliche Erdsatelliten</a></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Übersicht"><span id=".C3.9Cbersicht"></span>Übersicht</h2></div>
<table class="wikitable zebra" style="text-align:center">
<tbody><tr class="hintergrundfarbe8">
<th colspan="4">Bahnelement
</th>
<th colspan="2">Verwendbarkeit
</th></tr>
<tr>
<th>Bahnelement
</th>
<th>Bezug
</th>
<th>Symbol
</th>
<th>Dimension
</th>
<th>Ellipse
</th>
<th>Parabel / Hyperbel
</th></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Numerische Exzentrizität
</td>
<td>Form
</td>
<td><i>e</i>, <i>ε</i>
</td>
<td>1
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Exzentrizitätswinkel
</td>
<td>Form
</td>
<td>Φ
</td>
<td>1
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Nein
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Halbparameter
</td>
<td>Größe
</td>
<td><i>p</i>
</td>
<td>Länge
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Periapsisdistanz
</td>
<td>Größe
</td>
<td><i>r</i><sub>min</sub>
</td>
<td>Länge
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Große Halbachse
</td>
<td>Größe
</td>
<td><i>a</i>, <i>α</i>
</td>
<td>Länge
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Nein
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Inklination, Bahnneigung
</td>
<td>Lage
</td>
<td><i>i</i>
</td>
<td>Winkel
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Winkel des Knotens
</td>
<td>Lage
</td>
<td>Ω
</td>
<td>Winkel
</td>
<td>Ja
</td>
<td>teilweise <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937660">
/* start https://de.wikipedia.org/ */
.mw-parser-output .fussnoten-marke{font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;unicode-bidi:isolate;white-space:nowrap}.mw-parser-output sup.fussnoten-marke{font-size:0.75rem}.mw-parser-output .fussnoten-etui sup{margin-left:-0.15rem}.mw-parser-output span.fussnoten-inhalt{padding-left:0.1rem}.mw-parser-output span.fussnoten-inhalt+span.fussnoten-inhalt{padding-left:0.15rem}.mw-parser-output .fussnoten-block{margin-bottom:0.1rem}.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt{display:inline-block;padding-left:0.8rem;text-indent:-0.8rem}.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt p,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt dl,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt ol,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt ul{text-indent:0}.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt.fussnoten-floatfix{display:block}.mw-parser-output .fussnoten-box{margin-top:0.5rem;padding-left:0.8rem}.mw-parser-output .fussnoten-box,.mw-parser-output div.fussnoten-inhalt{font-size:94%}.mw-parser-output .fussnoten-box div.fussnoten-inhalt,.mw-parser-output span.fussnoten-inhalt,.mw-parser-output .fussnoten-inhalt .reference-text{font-size:inherit}.mw-parser-output .fussnoten-inhalt .reference-text{display:inline}.mw-parser-output .fussnoten-linie{display:inline-block;position:relative;top:-1em;border-top:solid 1px #808080;width:8rem}.mw-parser-output .fussnoten-linie+p,.mw-parser-output .fussnoten-linie+dl,.mw-parser-output .fussnoten-linie+ol,.mw-parser-output .fussnoten-linie+ul,.mw-parser-output .fussnoten-linie+link+div{margin-top:-1em}.mw-parser-output .annotationpair-m:target .fussnoten-marke,.mw-parser-output .fussnoten-inhalt:target{background-color:var(--background-color-progressive-subtle,#f1f4fd);box-shadow:0 0 0 0.25em var(--background-color-progressive-subtle,#f1f4fd)}.mw-parser-output .annotationpair-m:target .fussnoten-marke,.mw-parser-output .fussnoten-inhalt:target .fussnoten-marke{font-weight:bold}
/* end https://de.wikipedia.org/ */
</style> <span class="fussnoten-etui reference"><sup class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="1">1</sup></span>
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Argument der Periapsis
</td>
<td>Lage
</td>
<td><i>ω</i>
</td>
<td>Winkel
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Mittlere Bewegung
</td>
<td>Zeitverhalten
</td>
<td><i>μ</i>, <i>n</i>, <i>V</i>
</td>
<td>1 / Zeit
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Winkelgeschwindigkeit <span class="fussnoten-etui reference"><sup class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="2">2</sup></span>
</td>
<td>Zeit-Ortverhalten
</td>
<td>
</td>
<td>Winkel / Zeit
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Mittlere Anomalie <span class="fussnoten-etui reference"><sup class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="2">2</sup></span>
</td>
<td>Bahnort
</td>
<td><i>M</i>
</td>
<td>Winkel
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Nein
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Mittlere Länge <span class="fussnoten-etui reference"><sup class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="2">2</sup></span>
</td>
<td>Bahnort
</td>
<td><i>λ</i>, <i>L</i>
</td>
<td>Winkel
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Nein
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Radiusvektor <span class="fussnoten-etui reference"><sup class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="2">2</sup></span>
</td>
<td>Bahnort
</td>
<td><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}}">
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<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<mi>R</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
</mover>
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</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f361eec9da18669c0e7e869c57bae6c657f53522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}}" loading="lazy"></span>
</td>
<td>Länge
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Umlaufperiode
</td>
<td>Zeitbezug
</td>
<td><i>P</i>
</td>
<td>Zeit
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Nein
</td></tr>
<tr>
<td style="text-align:left">Periapsiszeit
</td>
<td>Zeitbezug
</td>
<td><i>t</i>
</td>
<td>Zeit
</td>
<td>Ja
</td>
<td>Ja
</td></tr></tbody></table>
<div class="fussnoten-box">
<div class="fussnoten-linie" aria-hidden="true" role="presentation"></div>
<p><br>
</p>
<div class="fussnoten-block"><div class="fussnoten-inhalt references"><sup class="fussnoten-marke mw-cite-backlink" data-annotationpair-a="1">1</sup> <div class="reference-text">offene Bahnen haben nicht immer einen <i>aufsteigenden</i> Knoten</div></div></div>
<div class="fussnoten-block"><div class="fussnoten-inhalt references"><sup class="fussnoten-marke mw-cite-backlink" data-annotationpair-a="2">2</sup> <div class="reference-text">zu einem bestimmten Zeitpunkt</div></div></div>
<p><br>
</p>
</div>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>
<ul><li><a href="Umlaufbahn" title="Umlaufbahn">Umlaufbahn</a> – die geschlossene <a href="Keplerbahn" title="Keplerbahn">Keplerbahn</a></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>
<ul><li>Andreas Guthmann: <i>Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung.</i> BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4</li>
<li>Wolfgang Vollmann: <i>Wandelgestirnörter</i>. In: Hermann Mucke (Hrsg.): <i>Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93.</i> Zeiss-Planetarium der Stadt Wien und <a href="%C3%96sterreichischer_Astronomischer_Verein" title="Österreichischer Astronomischer Verein">Österreichischer Astronomischer Verein</a> 1992, S. 55–102 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.astronomisches-buero-wien.or.at/semind2.htm#sem1992">weblink, 3. Feb. 2011</a>)</li>
<li>Jean Meeus: <i>Astronomical Algorithms</i>. Willmann-Bell, Richmond 1991, ISBN 0-943396-35-2</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>
<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.minorplanetcenter.net">Minor Planet Center</a> (englisch)</li>
<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cbat.eps.harvard.edu/">Central Bureau for Astronomical Telegrams</a> (englisch)</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>
<ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Oliver Montenbruck: <i>Grundlagen der Ephemeridenrechnung</i>, Sterne und Weltraum, Heidelberg 2001, ISBN 3-87973-941-2, S. 57</span>
</li>
<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#Literatur">Guthmann</a>, S. 163</span>
</li>
<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#Literatur">Vollmann</a>, 8.1</span>
</li>
</ol><div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten">
<div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;">
<div>
Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4326738-5">4326738-5</a></span> </div>
</div></div></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-04-13" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Bahnelement&oldid=255095990">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.
</div>
</div><!--/htdig_noindex--></div>
</div>
</main>
</div>
</div>
</div>
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</body></html>